Артем Посадский

Ментор
Артем Феликсович Посадский — аспирант ЛФИ, лаборатория физики твердого тела, кафедра проблем физики и астрофизики ОТФ ФИАН, младший научный сотрудник

Контакты
posadskij.af@phystech.edu
https://vk.com/artmour
https://t.me/Artmour

Проект / Сверхпроводимость
Тема 1: Гибридизация андреевских состояний в цепочке джозефсоновских контактов

Идея работы основана на аналогии между джозефсоновскими контактами и атомами с точки зрения их связанных состояний. Подобно электронным облакам при образовании двухатомной молекулы Андреевские состояния двух джозефсоновских контактов гибридизуются, образуя некоторую суперпозицию. Идея этой аналогии была выдвинута в статье https://arxiv.org/pdf/1809.11011v1.pdf

Менти (ориентировочно 1−3 курс) предлагается при моей поддержке продолжить развитие данных идей на примере цепочки джозефсоновских контактов: определение характеристик связанных состояний, их поведения при изменении параметров системы, развитие аналогии со спектром обычного одномерного кристалла.

По результатам работы может быть написана и опубликована статья в небольшом журнале.

Тема 2: Исследование свойств изинговского сверхпроводника (функционал Гинзбурга-Ландау)

Функционал Гинзбурга-Ландау является мощным инструментом для исследования качественного поведения сверхпроводников в окрестности точки фазового перехода. Он нашёл множество применений в описании различных свойств сверхпроводников и структур сверхпроводник-нормальный металл.

Идея работы состоит в применении данного формализма к изинговским сверхпроводникам. Так называют класс двумерных сверхпроводников, имеющих зеркальную плоскостную симметрию и не обладающих центром инверсии. Из-за этих особенностей они, в частности, очень устойчивы к плоскостным полям (https://arxiv.org/abs/1908.11 662).

Менти (ориентировочно 1−3 курс) предлагается при моей поддержке провести исследование свойств изинговских сверхпроводников в формализме Гинзбурга-Ландау.

По результатам работы может быть написана и опубликована статья в небольшом журнале.

Тема 3: Исследование свойств изинговского сверхпроводника (Уравнения Боголюбова-де Жена)

Уравнения Боголюбова-де Жена описывают поведение квазичастиц в сверхпроводниках, к которым можно перейти, если заменить реальное притяжение электронов некоторым средним полем. Такое упрощение позволяет получить довольно много информации о физике сверхпроводника.

Аналогично пункту выше проект посвящён изучению свойств изинговских сверхпроводников. Так называют класс двумерных сверхпроводников, имеющих зеркальную плоскостную симметрию и не обладающих центром инверсии. Из-за этих особенностей они, в частности, очень устойчивы к плоскостным полям (https://arxiv.org/abs/1908.11 662).

Менти (ориентировочно 1−3 курс) предлагается при моей поддержке провести исследование свойств изинговских сверхпроводников в рамках данного эффективного описания.

По результатам работы может быть написана и опубликована статья в небольшом журнале.

Проект / Комплексный анализ

Тема 1: Получение конформного отображения на круговой многоугольник с несколькими разрезами с помощью уравнения Лёвнера

Конформные отображения являются удобным инструментом для решения различных задач математики, физики, техники. Однако получение явного или приближённого вида отображения на сложную область сопряжено с различными трудностями.

Для решения этой проблемы разработано множество подходов. Например, для многоугольных областей существует метод Куфарева. Его идея состоит в том, что, проводя последовательно прямолинейные разрезы в исходном многоугольнике, можно получить любой другой.

Недавно мной и моим коллегой arxiv.org/abs/2302.4 350 было получено обобщение этого метода на случай нескольких прямолинейных разрезов применительно к обычным многоугольникам. Менти будет предложено по аналогии обобщить этот метод на круговые многоугольники (фигуры, граница которых состоит из дуг окружностей).

Тема 2: Введение вероятностной меры на пространстве голоморфных в круге функций
Группа уже сформирована, прием заявок новых менти закрыт
Рассмотрим голоморфную в единичном круге D функцию f (z). В общем случае она отображает D на некоторую область D ⊂ C. Возникает вопрос, можно ли каким-либо образом построить вероятностную меру на множестве таких отображений?

Такой сценарий может быть реализован различными способами. Нас будет интересовать случай, когда вероятность изначально строится на множестве функций на отрезке, определяющих поведение голоморфной функции на границе. Далее с помощью некоторого соответствия она переносится на голоморфные функции в круге.

В рамках этого проекта менти предлагается поработать с указанной выше реализацией построения меры, а именно проанализировать то, как будут зависеть средние величины от выбора вероятностного функционала в нескольких простых случаях.

Комментарий
Порог вхождения в работу, на мой взгляд, вполне осваиваем меньше, чем за семестр. Ориентировочно: необходимо (в зависимости от темы) уметь работать с дифференциальными уравнениями, определителями, владеть основами ТФКП (знание некоторых основных теорем, работа с вычетами, конформные отображения), а также владеть базовыми навыками работы с континуальными интегралами.

Впоследствии также придется решать полученные уравнения численно, поэтому необходимо обладать навыками работы с программами типа Wolfram Mathematica.