Радомир Степанов

Мы изучим, как с помощью теории групп, алгебр и их представлений можно получать квантовые инварианты узлов (полином Джонса, полином Александера, полином ХОМФЛИ). Предлагается следующий план:

1) Теория представлений. В современной физике классической является идея изучения групп симметрии системы (группа поворотов, группа Лоренца). Таким образом, мы познакомимся с основными группами Ли, изучим их алгебры и представления.

2) Квантовые группы. Далее нам понадобятся квантовые группы — они являются некоторой деформацией того, что мы изучали ранее. Наша цель — научиться строить R-матрицы (этот объект также появляется в физике, например, в статистической механике).

3) Группы кос. Наконец, мы подошли к узлам. Узлы можно получать, замыкая косы. Сначала мы научимся работать с этим новым объектом, а затем с помощью построенных ранее R-матриц построим квантовые инварианты узлов.

Простое введение в теорию узлов можно найти в книге Сосинского А. Б. «Узлы. Хронология одной математической теории». Примеры связей узлов и физики, а также описание R-матричного подхода можно прочитать в статье arXiv:1412.8444 (она написана довольно сложным языком).

Квантовые инварианты узлов (Джонса, Александера, ХОМФЛИ) не являются полными. То есть существуют разные узлы, имеющие одинаковые полиномы. Инварианты Васильева, в свою очередь, представляют собой бесконечную последовательность всё более и более точных инвариантов. Существует современная гипотеза, что вся совокупность инвариантов Васильева может быть полным инвариантом узла. Кроме того, почти любой известный инвариант узла может быть «разложен по базису» из инвариантов Васильева.

Предлагается рассмотреть следующие темы:

1) Комбинаторное определение инвариантов. Инварианты Васильева основаны на простой идее разрешения пересечений в узле. Мы научимся вычислять их для простых узлов.

2) Алгебра хордовых диаграмм. Пространство инвариантов Васильева связано с пространством хордовых диаграмм (или диаграмм Якоби) — окружностей с отмеченными хордами, чем-то напоминающих диаграммы Фейнмана. Мы поймём, как именно устроено это пространство.

3*) Интеграл Концевича. М. Концевич предложил явную интегральную формулу, которая по диаграмме узла выдаёт целый набор его инвариантов Васильева. Этот интеграл имеет прямую аналогию с интегралами по траекториям в квантовой теории поля.

4**) Связь с уравнениями Книжника-Замолодчикова. Оказывается, инварианты Васильева возникают в совершенно другой области — в двумерной конформной теории поля. Эти теории описывают, например, фазовые переходы в статистической физике. Наша цель — понять связь между задачами о частицах и теорией узлов.

Базовое введение в инварианты Васильева можно прочитать в книге В. О. Мантурова «Теория узлов» (Часть III).